1 задание ЕГЭ профильная математика

Задание 1 проверяет базовую геометрию на плоскости: углы, треугольники, четырёхугольники, окружности, тригонометрию прямоугольного треугольника. Ответ – одно число (градусы, длина или площадь), 1 балл.

Алгоритм

1. Перенеси данные на рисунок (или нарисуй сам): подпиши известные углы и стороны.
2. Определи, какой факт связывает данные с искомым: сумма углов, вписанный угол, подобие, теорема Пифагора, синус/косинус острого угла.
3. Посчитай и проверь здравым смыслом: угол треугольника меньше $180^{\circ }$, гипотенуза больше катета.

Нужные факты и формулы

• Сумма углов треугольника $180^{\circ }$; внешний угол равен сумме двух внутренних, не смежных с ним. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.
• Вписанный угол равен половине дуги, на которую опирается; центральный – всей дуге. Вписанные углы, опирающиеся на одну дугу, равны; опирающийся на диаметр – прямой.
• Вписанный четырёхугольник: сумма противоположных углов $180^{\circ }$. Описанный: суммы противоположных сторон равны.
• Касательная перпендикулярна радиусу в точке касания; отрезки касательных из одной точки равны.
• Прямоугольный треугольник: $a^2+b^2=c^2$, $\sin A=\frac{a}{c}$, $\cos A=\frac{b}{c}$, $\mathrm{tg}A=\frac{a}{b}$; медиана к гипотенузе равна её половине.
• Площади: $S=\frac{1}{2}ah$, $S=\frac{1}{2}ab\sin C$, $S_{\text{трап}}=\frac{a+b}{2}h$, $S_{\text{круга}}=\pi R^2$.
• Теорема синусов $\frac{a}{\sin A}=2R$, теорема косинусов $c^2=a^2+b^2-2ab\cos C$.

Разобранный пример. В треугольнике $ABC$ угол $C$ прямой, $AB=25$, $\sin A=0,6$. Найди $AC$.

$BC=AB\cdot \sin A=25\cdot 0,6=15$. По теореме Пифагора $AC=\sqrt{25^2-15^2}=\sqrt{400}=20$. Ответ: 20.

Ловушки: путать центральный и вписанный угол (разница ровно в 2 раза); брать синус вместо косинуса – синус острого угла это противолежащий катет к гипотенузе; рисунок может быть не в масштабе – не измеряй «на глаз»; в ответ пишется только число, без знака градуса.