3 задание ЕГЭ профильная математика

Стереометрия

1 балл ≈ 3 мин уровень Б

Задание 3 – объёмы и площади поверхностей многогранников и тел вращения, а также подобие тел. Обычно это вычисление в одно-два действия.

Алгоритм

Определи тело и выпиши его формулу.
Если тело «изменили» (увеличили радиус, уменьшили высоту) – найди, во сколько раз изменился каждый множитель формулы.
Если тело составное – раздели на простые части или вычти «вырезанное».

Формулы

Призма, параллелепипед	$V = S_{осн} h$ ; куб $V = a^{3}$ , $S = 6 a^{2}$
Пирамида	$V = \frac{1}{3} S_{осн} h$
Цилиндр	$V = π r^{2} h$ , $S_{бок} = 2 π r h$
Конус	$V = \frac{1}{3} π r^{2} h$ , $S_{бок} = π r l$ , $l^{2} = r^{2} + h^{2}$
Шар	$V = \frac{4}{3} π R^{3}$ , $S = 4 π R^{2}$

Подобие: если все линейные размеры увеличить в $k$ раз, площади вырастут в $k^{2}$ , объём – в $k^{3}$ раз.

Разобранный пример. Радиус основания цилиндра увеличили в 3 раза, а высоту уменьшили в 2 раза. Во сколько раз увеличился объём?

$V = π r^{2} h$ . Новый объём $π (3 r)^{2} \cdot \frac{h}{2} = \frac{9}{2} π r^{2} h$ . Объём увеличился в $4, 5$ раза. Ответ: 4,5.

Ловушки: дан диаметр, а в формулу нужен радиус; в «пирамиде» забыть множитель $\frac{1}{3}$ ; если в ответе просят $\frac{V}{π}$ , число $π$ не подставляй; объёмы жидкости в сосудах разной формы сравнивай через формулу, а не через высоту.

На экзамене

Задачи «во сколько раз» решай через отношение формул – конкретные числа не нужны.
Шар, вписанный в цилиндр: высота цилиндра $2 R$ , радиус основания $R$ .
Конус и цилиндр с общим основанием и высотой: объём конуса ровно в 3 раза меньше.

Разобранные задания 3 из открытого банка ФИПИ

Пример 1 · код ФИПИ 843F31

Через среднюю линию основания треугольной призмы проведена плоскость, параллельная боковому ребру. Найдите объём этой призмы, если объём отсечённой треугольной призмы равен 7.

Рисунок к заданию

Показать ответ и решение

Ответ: 28

Площадь основания отсечённой призмы в 4 раза меньше, высота та же.

$V = 4 \cdot 7 = 28$ .

Пример 2 · код ФИПИ B28DB5

В прямоугольном параллелепипеде $A B C D A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ известно, что $A B = 6$ , $B C = 5$ , $A A_{1} = 4$ . Найдите объём многогранника, вершинами которого являются точки $A$ , $B$ , $C$ , $B_{1}$ .

Рисунок к заданию

Показать ответ и решение

Ответ: 20

Пирамида $B_{1} A B C$ : основание — прямоугольный треугольник $\frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 5 = 15$ , высота 4.

$V = \frac{1}{3} \cdot 15 \cdot 4 = 20$ .

Пример 3 · код ФИПИ DFC057

Цилиндр и конус имеют общие основание
и высоту. Объём конуса равен 6. Найдите объём цилиндра.

Рисунок к заданию

Показать ответ и решение

Ответ: 18

$V_{цил} = 3 V_{кон} = 18$ .

Частые вопросы о задании 3

Сколько баллов даёт задание 3 ЕГЭ по профильной математике?

Максимум – 1 первичный балл. Норма времени на экзамене – около 3 мин. Уровень сложности – Б.

Что проверяет задание 3?

Как подготовиться к заданию 3?

Прочитайте теорию выше: алгоритм, нужные факты и ловушки. Затем решите подход из 10 заданий с автопроверкой и разбором – первые без регистрации – и вернитесь к ошибкам. В пробниках Сотки номер встречается в полных вариантах ФИПИ с подсчётом баллов.