11 задание ЕГЭ профильная математика

Задание 11 – по рисунку графика определить формулу функции (её коэффициенты) и найти значение в точке или абсциссу точки пересечения графиков.

Алгоритм

1. Определи вид функции (обычно он дан в условии: $f(x)=a{x}^2+bx+c$, $\frac{k}{x}+a$, $a^x+b$ и т. д.).
2. Найди на графике точки с целыми координатами (узлы сетки).
3. Подставь их в формулу и найди неизвестные коэффициенты.
4. Посчитай то, что просят.

Шпаргалка по видам

• $y=kx+b$: $b$ – точка пересечения с осью $Oy$, $k=\frac{\mathrm{\Delta }y}{\mathrm{\Delta }x}$.
• $y=a{x}^2+bx+c$: $c=f(0)$, вершина $x_0=-\frac{b}{2a}$; удобна запись $y=a(x-x_1)(x-x_2)$ через нули или $y=a(x-x_0{)}^2+y_0$ через вершину.
• $y=\frac{k}{x-a}+b$: асимптоты $x=a$ и $y=b$.
• $y=a\sqrt{x}$, $y=a^x+b$ (асимптота $y=b$), $y={\log }_a(x+b)$.
• $y=a\sin (bx)+c$ или $a\cos (bx)+c$: $c$ – середина между max и min, $\mathrm{\mid }a\mathrm{\mid }$ – половина размаха, период $T=\frac{2\pi }{\mathrm{\mid }b\mathrm{\mid }}$.

Разобранный пример. График $f(x)=a{x}^2+bx+c$ проходит через точки $(0;3)$, $(1;0)$, $(3;0)$. Найди $f(5)$.

Нули 1 и 3, значит $f(x)=a(x-1)(x-3)$. $f(0)=3a=3\Rightarrow a=1$. $f(5)=4\cdot 2=8$. Ответ: 8.

Ловушки: брать точки «между» клетками – координаты будут неточными; у гиперболы забыть сдвиг; при пересечении двух графиков нужно решать уравнение $f(x)=g(x)$, а не искать точку по рисунку – она может быть за пределами картинки.