2 задание ЕГЭ профильная математика

Задание 2 – действия с векторами на координатной плоскости: координаты, длина, сумма, умножение на число, скалярное произведение. Векторы часто даны на клетчатом рисунке.

Алгоритм

1. Найди координаты каждого вектора: из координат конца вычти координаты начала. На клетках – посчитай, на сколько клеток вектор идёт вправо (+) или влево (−), вверх (+) или вниз (−).
2. Выполни нужное действие покоординатно.
3. Посчитай то, что спрашивают: координату, длину или скалярное произведение.

Формулы

• $\overrightarrow{AB}=(x_B-x_A;y_B-y_A)$.
• $\vec{a}+\vec{b}=(x_1+x_2;y_1+y_2)$, $k\vec{a}=(k{x}_1;k{y}_1)$.
• Длина: $\mathrm{\mid }\vec{a}\mathrm{\mid }=\sqrt{x^2+y^2}$.
• Скалярное произведение: $\vec{a}\cdot \vec{b}=x_1{x}_2+y_1{y}_2=\mathrm{\mid }\vec{a}\mathrm{\mid }\mathrm{\mid }\vec{b}\mathrm{\mid }\cos \phi$.
• $\vec{a}\perp \vec{b}⟺\vec{a}\cdot \vec{b}=0$; $\vec{a}\cdot \vec{a}=\mathrm{\mid }\vec{a}{\mathrm{\mid }}^2$.
• Угол между векторами: $\cos \phi ={\displaystyle \frac{\vec{a}\cdot \vec{b}}{\mathrm{\mid }\vec{a}\mathrm{\mid }\mathrm{\mid }\vec{b}\mathrm{\mid }}}$.

Разобранный пример. Даны $\vec{a}(3;-4)$ и $\vec{b}(1;2)$. Найди $\mathrm{\mid }\vec{a}+2\vec{b}\mathrm{\mid }$ и $\vec{a}\cdot \vec{b}$.

$2\vec{b}=(2;4)$, $\vec{a}+2\vec{b}=(5;0)$, длина $\sqrt{25+0}=5$. Скалярное произведение: $3\cdot 1+(-4)\cdot 2=3-8=-5$.

Ловушки: вычитать из координат начала координаты конца (нужно наоборот: конец минус начало); терять минус у координаты; путать длину суммы с суммой длин: $\mathrm{\mid }\vec{a}+\vec{b}\mathrm{\mid }\mathrm{\ne }\mathrm{\mid }\vec{a}\mathrm{\mid }+\mathrm{\mid }\vec{b}\mathrm{\mid }$ в общем случае. Скалярное произведение – это число, а не вектор.