18 задание ЕГЭ профильная математика

Задание 18 (4 балла) – найти все значения параметра $a$, при которых уравнение, неравенство или система имеет заданное число решений (или решения с заданным свойством).

Основные методы

• Графический в плоскости $xOy$: $a$ задаёт сдвиг или наклон прямой, радиус окружности и т. п. Двигаешь «подвижный» график и считаешь точки пересечения с «неподвижным».
• Графический в плоскости $xOa$: выражаешь $a=f(x)$ и пересекаешь график горизонтальными прямыми $a=\text{const}$.
• Аналитический: дискриминант, теорема Виета, расположение корней квадратного трёхчлена относительно точки.
• Симметрия (если $x$ – решение, то и $-x$), монотонность, оценки.

Алгоритм

1. Упрости условие: ОДЗ, раскрой модули, разложи на множители (произведение равно нулю – совокупность при условии ОДЗ).
2. Выбери метод и построй картинку.
3. Найди «граничные» значения $a$: касание, прохождение через особые точки, выколотые точки.
4. Проверь каждое граничное значение отдельно и запиши ответ.

Разобранный пример. При каких $a$ уравнение $x^2-4\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }+3=a$ имеет ровно 4 корня?

Функция $y=x^2-4\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }+3$ чётная. При $x\ge 0$ это парабола с вершиной $(2;-1)$, $y(0)=3$; слева – зеркальное отражение. Прямая $y=a$ пересекает график в 4 точках при $-1<a<3$. При $a=3$ корни $x=0$, $x=\pm 4$ – их 3; при $a=-1$ корни $x=\pm 2$ – 2; при $a>3$ – 2 корня; при $a<-1$ – нет. Ответ: $a\in (-1;3)$.

Как оформить: равносильные переходы с условиями; аккуратный рисунок с подписанными графиками и особыми точками; вычисление каждого граничного значения (касание – через дискриминант или производную); отдельно разобранные граничные случаи; ответ.

Критерии (типовая схема): 4 балла – обоснованно получен верный ответ; 3 балла – верным рассуждением получено множество, отличающееся от искомого только включением/исключением граничных точек; 2 балла – верно получена часть ответа (промежуток) или вычислительная ошибка при всех верных шагах; 1 балл – задача верно сведена к исследованию взаимного расположения графиков (аналитически или графически).

Ловушки: забыть ОДЗ (выколотые точки на графике); не проверить граничные значения; при касании найти точку, но не проверить, лежит ли она в ОДЗ.