5 задание ЕГЭ профильная математика

Задание 5 – вероятности сложных событий: «и», «или», «хотя бы один», «ровно», условная вероятность, формула полной вероятности.

Алгоритм

1. Разбей событие на простые: что должно случиться и в каком сочетании.
2. Определи связь: события несовместны (складываем) или независимы (перемножаем).
3. Если вариантов много, перейди к противоположному событию.

Формулы

• Несовместные: $P(A+B)=P(A)+P(B)$. В общем случае $P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)$.
• Независимые: $P(AB)=P(A)\cdot P(B)$.
• Хотя бы одно из $n$ независимых: $1-(1-p_1)(1-p_2)\dots (1-p_n)$.
• Ровно $k$ успехов из $n$ при вероятности успеха $p$: $C_n^k{p}^k(1-p{)}^{n-k}$.
• Условная: $P(A\mid B)={\displaystyle \frac{P(AB)}{P(B)}}$.
• Полная вероятность: $P(A)=P(H_1)P(A\mid H_1)+P(H_2)P(A\mid H_2)$ – «дерево» вариантов.

Разобранный пример. Стрелок попадает в мишень с вероятностью 0,8. Он стреляет 3 раза. Найди вероятность, что он попадёт ровно один раз.

Попасть можно в 1-м, 2-м или 3-м выстреле – 3 несовместных варианта. Каждый: $0,8\cdot 0,2\cdot 0,2=0,032$. Итого $3\cdot 0,032=0,096$. Ответ: 0,096.

Ловушки: перемножать зависимые события как независимые (вынули шар и не вернули – вероятности для второго шара меняются); в «ровно один» забыть умножить на число вариантов; складывать вероятности совместных событий без вычитания $P(AB)$.