14 задание ЕГЭ профильная математика

Стереометрия: доказательство и вычисление

3 балла ≈ 20 мин уровень П Стереометрия (доказательство и вычисление)

Задание 14 (3 балла): а) доказать утверждение о взаимном расположении прямых и плоскостей; б) найти угол, расстояние, площадь сечения или объём.

Алгоритм

Нарисуй крупный чертёж, отметь данные.
Пункт а: опирайся на признаки (перпендикулярность прямой и плоскости, теорема о трёх перпендикулярах, параллельность). Каждое утверждение – с причиной.
Пункт б: используй пункт а – он почти всегда подсказка. Если классический путь не виден, вводи координаты.

Ключевые факты

Прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна двум пересекающимся прямым этой плоскости.
Теорема о трёх перпендикулярах; угол между прямой и плоскостью – угол между прямой и её проекцией.
Метод координат: плоскость $a x + b y + c z + d = 0$ , нормаль $\vec{n} (a; b; c)$ ; расстояние $ρ = \frac{∣ a x_{0} + b y_{0} + c z_{0} + d ∣}{\sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2}}}$ ; угол между прямыми $\cos φ = \frac{∣ \vec{u} \cdot \vec{v} ∣}{∣ \vec{u} ∣ ∣ \vec{v} ∣}$ ; между прямой и плоскостью $\sin φ = \frac{∣ \vec{n} \cdot \vec{u} ∣}{∣ \vec{n} ∣ ∣ \vec{u} ∣}$ ; между плоскостями $\cos φ = \frac{∣ {\vec{n}}_{1} \cdot {\vec{n}}_{2} ∣}{∣ {\vec{n}}_{1} ∣ ∣ {\vec{n}}_{2} ∣}$ .
Расстояние от точки до плоскости через объём: $h = \frac{3 V}{S}$ .

Разобранный пример. В кубе $A B C D A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ с ребром 6: а) докажи, что $B D_{1} ⊥ (A C B_{1})$ ; б) найди расстояние от $B$ до плоскости $A C B_{1}$ .

а) $A C ⊥ B D$ (диагонали квадрата) и $A C ⊥ D D_{1}$ (ребро перпендикулярно основанию), значит $A C ⊥ (B D D_{1})$ и $A C ⊥ B D_{1}$ . Аналогично $A B_{1} ⊥ A_{1} B$ и $A B_{1} ⊥ A_{1} D_{1}$ , значит $A B_{1} ⊥ (A_{1} B D_{1})$ и $A B_{1} ⊥ B D_{1}$ . Прямая $B D_{1}$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым плоскости $A C B_{1}$ , что и требовалось.
б) Пирамида $B A C B_{1}$ : $V = \frac{1}{3} \cdot \frac{6 \cdot 6}{2} \cdot 6 = 36$ . Треугольник $A C B_{1}$ равносторонний со стороной $6 \sqrt{2}$ , $S = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 72 = 18 \sqrt{3}$ . $h = \frac{3 V}{S} = \frac{108}{18 \sqrt{3}} = 2 \sqrt{3}$ . Ответ: $2 \sqrt{3}$ .

Как оформить: чертёж; в пункте а – цепочка «факт → потому что → теорема»; в пункте б – построение искомого элемента (или ввод системы координат с координатами точек), вычисления, ответ.

Критерии: 3 балла – доказан а и обоснованно получен верный ответ в б; 2 балла – обоснованный ответ в б или доказан а, но в б арифметическая ошибка; 1 балл – доказан только а, или в обоснованном б арифметическая ошибка, или верный ответ в б с использованием а, когда а не доказан.

Ловушки: перпендикулярность одной прямой плоскости – недостаточно; «очевидно» вместо ссылки на признак; ошибка в координатах точек верхнего основания.

На экзамене

Пункт б можно решать, даже не доказав а: используй утверждение а – это всё равно 1 балл.
Метод координат почти всегда работает в кубе, правильной призме и прямоугольном параллелепипеде.
В правильной пирамиде вершина проецируется в центр основания – с этого начинай координаты.

Частые вопросы о задании 14

Сколько баллов даёт задание 14 ЕГЭ по профильной математике?

Максимум – 3 первичных балла. Норма времени на экзамене – около 20 мин. Уровень сложности – П.

Что проверяет задание 14?

Как подготовиться к заданию 14?

Прочитайте теорию выше: алгоритм, нужные факты и ловушки. Затем решите подход из 10 заданий с автопроверкой и разбором – первые без регистрации – и вернитесь к ошибкам. В пробниках Сотки номер встречается в полных вариантах ФИПИ с подсчётом баллов.