16 задание ЕГЭ профильная математика

Задание 16 (2 балла) – кредиты и вклады: найти процент, сумму, срок или оптимальное значение. Главное – правильно составить модель.

Две основные схемы кредита

• Дифференцированная («долг уменьшается на одну и ту же величину»): долг $S$ на $n$ лет уменьшается каждый год на $\frac{S}{n}$. Платёж = $\frac{S}{n}$ + проценты на текущий долг. Сумма всех процентов = $\frac{r}{100}\cdot$(сумма долгов на начало каждого года), то есть $\frac{r}{100}\cdot S\cdot \frac{n+1}{2}$.
• Аннуитетная («равные платежи $X$»): при $k=1+\frac{r}{100}$ имеем $S{k}^n=X(k^{n-1}+\dots +k+1)=X\cdot {\displaystyle \frac{k^n-1}{k-1}}$.
• Вклад: $S\cdot k^n$ через $n$ лет; пополнения добавляются после начисления.

Алгоритм

1. Составь таблицу по годам: долг на начало, долг после начисления, платёж, долг после платежа.
2. Запиши условие задачи (сумма выплат, последний платёж, наибольший платёж) уравнением.
3. Реши уравнение и проверь, что ответ удовлетворяет условию (целое $r$, натуральное $n$).

Разобранный пример. Кредит 600 тыс. руб. взят на 5 лет под 10% годовых; долг каждый год уменьшается на одну и ту же величину. Найди общую сумму выплат.

Долг на начало лет: 600, 480, 360, 240, 120 (тыс.). Проценты: $0,1\cdot (600+480+360+240+120)=0,1\cdot 1800=180$. Сумма выплат $600+180=780$ тыс. руб. Ответ: 780 тыс. руб.

Как оформить: обозначения ($S$, $r$, $k$, $X$), таблица или цепочка долгов по годам, уравнение с пояснением, откуда оно, решение, ответ с единицами.

Критерии: 2 балла – обоснованно получен верный ответ; 1 балл – верно построена математическая модель (уравнение, неравенство или функция, полностью описывающие задачу); 0 – иначе.

Ловушки: начислять проценты на долг после платежа, а не до; путать схемы – «равные платежи» и «равномерное уменьшение долга» дают разные суммы; в двухэтапных схемах (как в демоверсии: сначала до 200 тыс., потом до нуля) считать проценты на каждом этапе отдельно.