8 задание ЕГЭ профильная математика

Q: Сколько баллов даёт задание 8 ЕГЭ по профильной математике?

Максимум – 1 первичный балл. Норма времени на экзамене – около 5 мин. Уровень сложности – Б.

Q: Как подготовиться к заданию 8?

Прочитайте теорию выше: алгоритм, нужные факты и ловушки. Затем решите подход из 10 заданий с автопроверкой и разбором – первые без регистрации – и вернитесь к ошибкам. В пробниках Сотки номер встречается в полных вариантах ФИПИ с подсчётом баллов.

Производная и первообразная

1 балл ≈ 5 мин уровень Б

Задание 8 – геометрический и физический смысл производной по рисунку: дан график функции, график производной или касательная. Иногда – первообразная и площадь под графиком.

Алгоритм

Сначала прочитай подпись: на рисунке $y = f (x)$ или $y = f^{'} (x)$ ? От этого зависит всё.
Переведи вопрос на язык графика (см. таблицу).
Посчитай точки или значение, учитывая заданный интервал.

Вопрос о $f$	На графике $f$	На графике $f^{'}$
$f$ возрастает	график идёт вверх	$f^{'} > 0$ (выше оси)
Точка максимума	«вершина горки»	$f^{'}$ меняет знак с + на −
Точка минимума	«дно ямки»	$f^{'}$ меняет знак с − на +
Касательная параллельна $y = k x + b$	наклон равен $k$	точки, где $f^{'} = k$

Формулы: $f^{'} (x_{0}) = k = tg α$ – угловой коэффициент касательной; $k = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ по двум точкам; скорость $v (t) = x^{'} (t)$ ; если $F^{'} = f$ , то площадь под графиком $f \geq 0$ на $[a; b]$ равна $F (b) - F (a)$ .

Разобранный пример. Касательная к графику $y = f (x)$ в точке $x_{0}$ проходит через точки $(- 1; 2)$ и $(3; 10)$ . Найди $f^{'} (x_{0})$ .

$f^{'} (x_{0}) = k = \frac{10 - 2}{3 - (- 1)} = \frac{8}{4} = 2$ . Ответ: 2.

Ловушки: перепутать графики $f$ и $f^{'}$ ; на графике $f^{'}$ считать «вершины горок» точками максимума – это максимумы производной, а не функции; касание оси без смены знака $f^{'}$ – не экстремум; забыть ограничение по отрезку; знак наклона: касательная «вниз вправо» – $k < 0$ .

На экзамене

Подчеркни в условии слово «производной» в подписи графика – это главная ловушка задания.
Для углового коэффициента бери две точки касательной точно в узлах сетки.
Сумма или количество точек – перечисли их на черновике с координатами, чтобы не пропустить крайнюю.

Разобранные задания 8 из открытого банка ФИПИ

Пример 1 · код ФИПИ 28FA05

На рисунке изображён график функции $y = f (x) .$ На оси абсцисс отмечено восемь точек: $x_{1}$ , $x_{2}$ , $x_{3}$ , $x_{4}$ , $x_{5}$ , $x_{6}$ , $x_{7}$ , $x_{8}$ . Найдите количество отмеченных точек, в которых производная функции $f (x)$ положительна.

Рисунок к заданию

Показать ответ и решение

Ответ: 2

Производная положительна там, где функция возрастает.

По рисунку функция возрастает в точках $x_{6}$ и $x_{8}$ — 2 точки.

Пример 2 · код ФИПИ 099555

На рисунке изображён график функции $y = f (x)$ . На оси абсцисс отмечены точки $- 2$ , $- 1$ , 3, 4. В какой из этих точек значение производной наименьшее?
В ответе укажите эту точку.

Рисунок к заданию

Показать ответ и решение

Ответ: -1

Производная наименьшая там, где функция быстрее всего убывает.

В точке $- 1$ функция круто убывает; в $- 2$ и $3$ $f^{'} \approx 0$ , в $4$ — возрастает. Ответ: $- 1$ .

Пример 3 · код ФИПИ D00D6F

На рисунке изображены график функции $y = f (x)$ и касательная к нему
в точке с абсциссой $x_{0} .$ Найдите значение производной функции $f (x)$
в точке $x_{0} .$

Рисунок к заданию

Показать ответ и решение

Ответ: -1,4

$f^{'} (x_{0})$ – угловой коэффициент касательной.

Касательная проходит через $(2; 3)$ и $(7; - 4)$ : $k = \frac{- 4 - 3}{7 - 2} = - 1, 4$ .

Частые вопросы о задании 8

Сколько баллов даёт задание 8 ЕГЭ по профильной математике?

Максимум – 1 первичный балл. Норма времени на экзамене – около 5 мин. Уровень сложности – Б.

Что проверяет задание 8?

Как подготовиться к заданию 8?

Прочитайте теорию выше: алгоритм, нужные факты и ловушки. Затем решите подход из 10 заданий с автопроверкой и разбором – первые без регистрации – и вернитесь к ошибкам. В пробниках Сотки номер встречается в полных вариантах ФИПИ с подсчётом баллов.