7 задание ЕГЭ профильная математика

Задание 7 – найти значение выражения со степенями, корнями, логарифмами или тригонометрическими функциями. Ответ почти всегда «красивый»: целое число или конечная десятичная дробь.

Алгоритм

1. Посмотри, что мешает упростить: разные основания, сложный аргумент, сумма в логарифме.
2. Приведи к одному основанию / одному углу / одной функции.
3. Примени нужную формулу и сократи.

Формулы

• Степени: $a^m{a}^n=a^{m+n}$, $\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}$, $(a^m{)}^n=a^{mn}$, $(ab{)}^n=a^n{b}^n$, $a^{-n}=\frac{1}{a^n}$, $a^{m\mathrm{/}n}=\sqrt[n]{a^m}$.
• Корни: $\sqrt{ab}=\sqrt{a}\sqrt{b}$, $\sqrt{a^2}=\mathrm{\mid }a\mathrm{\mid }$.
• Логарифмы: ${\log }_{a}bc={\log }_{a}b+{\log }_{a}c$, ${\log }_a\frac{b}{c}={\log }_{a}b-{\log }_{a}c$, ${\log }_a{b}^k=k{\log }_{a}b$, $a^{{\log }_{a}b}=b$, ${\log }_{a}b={\displaystyle \frac{{\log }_{c}b}{{\log }_{c}a}}$.
• Тригонометрия: ${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1$, $\sin 2\alpha =2\sin \alpha \cos \alpha$, $\cos 2\alpha ={\cos }^2\alpha -{\sin }^2\alpha =1-2{\sin }^2\alpha =2{\cos }^2\alpha -1$, $\mathrm{tg}\alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }$.
• Формулы приведения: $\sin (\pi -\alpha )=\sin \alpha$, $\cos (\pi -\alpha )=-\cos \alpha$, $\sin (\frac{\pi }{2}-\alpha )=\cos \alpha$ и т. д.

Разобранный пример. Найди $5\cos 2\alpha$, если $\sin \alpha =0,4$.

$\cos 2\alpha =1-2{\sin }^2\alpha =1-2\cdot 0,16=0,68$. $5\cdot 0,68=3,4$. Ответ: 3,4.

Ловушки: знак тригонометрической функции зависит от четверти: если $\alpha \in (\frac{\pi }{2};\pi )$, то $\cos \alpha <0$; ${\log }_a(b+c)\mathrm{\ne }{\log }_{a}b+{\log }_{a}c$; $\sqrt{(2-\sqrt{5}{)}^2}=\sqrt{5}-2$, а не $2-\sqrt{5}$.