6 задание ЕГЭ профильная математика

Задание 6 – простейшие уравнения: линейные, квадратные, дробно-рациональные, иррациональные, показательные, логарифмические, тригонометрические. Нужно найти корень (или указанный из корней).

Алгоритм

1. Определи тип уравнения и приведи к простому виду.
2. Реши стандартным приёмом (см. формулы).
3. Проверь корни: ОДЗ логарифма, знаменатель, знак под корнем и справа от корня.
4. Если корней несколько – запиши тот, который просят (больший, меньший, наибольший отрицательный).

Формулы

• Квадратное: $D=b^2-4ac$, $x={\displaystyle \frac{-b\pm \sqrt{D}}{2a}}$.
• Показательное: $a^{f(x)}=a^{g(x)}\Rightarrow f(x)=g(x)$. Приводи к одному основанию: $\frac{1}{9}=3^{-2}$, $\sqrt{8}=2^{3\mathrm{/}2}$.
• Логарифмическое: ${\log }_{a}f(x)=b\Rightarrow f(x)=a^b$, при условии $f(x)>0$.
• Иррациональное: $\sqrt{f}=g\Rightarrow f=g^2$ при $g\ge 0$.
• Тригонометрическое: $\sin x=a\Rightarrow x=(-1{)}^n\arcsin a+\pi n$; $\cos x=a\Rightarrow x=\pm \arccos a+2\pi n$; $\mathrm{tg}x=a\Rightarrow x=\mathrm{arctg}a+\pi n$, $n\in \mathbb{Z}$.

Разобранный пример. Реши $\sqrt{2x+3}=x$.

Возводим в квадрат: $2x+3=x^2$, $x^2-2x-3=0$, $x_1=3$, $x_2=-1$. Проверка: при $x=-1$ слева $\sqrt{1}=1$, справа $-1$ – посторонний корень. Ответ: 3.

Ловушки: посторонние корни после возведения в квадрат; потеря ОДЗ у логарифма; в показательном ${\left(\frac{1}{3}\right)}^x=3^{-x}$ – не теряй минус; в ответе пиши десятичную дробь, а не обыкновенную ($\frac{3}{4}\to 0,75$).