12 задание ЕГЭ профильная математика

Задание 12 – исследование функции с помощью производной: найти точку максимума/минимума или наибольшее/наименьшее значение на отрезке.

Алгоритм

1. Найди ОДЗ (для $\ln$, корня, дроби).
2. Найди производную и приравняй к нулю.
3. Точка экстремума: расставь знаки $f^{\mathrm{\prime }}$ на интервалах. Смена с + на − – максимум, с − на + – минимум.
4. Наибольшее/наименьшее на отрезке: посчитай $f$ в критических точках, попавших в отрезок, и на концах; выбери нужное.

Производные

• $(x^n{)}^{\mathrm{\prime }}=n{x}^{n-1}$, $(\sqrt{x}{)}^{\mathrm{\prime }}=\frac{1}{2\sqrt{x}}$, $(e^x{)}^{\mathrm{\prime }}=e^x$, $(a^x{)}^{\mathrm{\prime }}=a^x\ln a$, $(\ln x{)}^{\mathrm{\prime }}=\frac{1}{x}$.
• $(\sin x{)}^{\mathrm{\prime }}=\cos x$, $(\cos x{)}^{\mathrm{\prime }}=-\sin x$, $(\mathrm{tg}x{)}^{\mathrm{\prime }}=\frac{1}{{\cos }^{2}x}$.
• $(uv{)}^{\mathrm{\prime }}=u^{\mathrm{\prime }}v+u{v}^{\mathrm{\prime }}$, ${\left(\frac{u}{v}\right)}^{\mathrm{\prime }}=\frac{u^{\mathrm{\prime }}v-u{v}^{\mathrm{\prime }}}{v^2}$, $(f(g(x)){)}^{\mathrm{\prime }}=f^{\mathrm{\prime }}(g(x))\cdot g^{\mathrm{\prime }}(x)$.

Разобранный пример. Найди точку минимума функции $y=x^3-12x+5$ и её наибольшее значение на отрезке $[-3;0]$.

$y^{\mathrm{\prime }}=3x^2-12=0\Rightarrow x=\pm 2$. Знаки: $+$ на $(-\mathrm{\infty };-2)$, $-$ на $(-2;2)$, $+$ на $(2;+\mathrm{\infty })$. Точка минимума $x=2$.
На $[-3;0]$: $y(-3)=-27+36+5=14$, $y(-2)=-8+24+5=21$, $y(0)=5$. Наибольшее значение 21.

Ловушки: «точка максимума» – это $x$, а «наибольшее значение» – это $y$; подставлять в функцию точку вне отрезка; с $\ln$ и $e^x$ ответ «красивый» только в точке, где $\ln 1=0$ или $e^0=1$ – если получилось $\ln 7$, ищи ошибку.