15 задание ЕГЭ профильная математика

Задание 15 (2 балла) – логарифмическое, показательное или рациональное неравенство, часто с заменой или переменным основанием.

Алгоритм

1. Выпиши ОДЗ: аргументы логарифмов $>0$, основания $>0$ и $\mathrm{\ne }1$, знаменатели $\mathrm{\ne }0$.
2. Упрости: приведи к одному основанию, сделай замену ($t=2^x$, $t={\log }_{2}x$).
3. Сведи к рациональному неравенству (метод рационализации) и реши методом интервалов.
4. Вернись к $x$ и пересеки с ОДЗ.

Метод интервалов: разложи на множители, отметь нули числителя и знаменателя (знаменатель – всегда выколотые точки), расставь знаки, учитывая чётные степени (там знак не меняется).

Рационализация (на ОДЗ знаки совпадают):

• ${\log }_{a}f-{\log }_{a}g\sim (a-1)(f-g)$;
• $a^f-a^g\sim (a-1)(f-g)$;
• $\mathrm{\mid }f\mathrm{\mid }-\mathrm{\mid }g\mathrm{\mid }\sim (f-g)(f+g)$.

Разобранный пример. Реши ${\log }_2(x+3)+{\log }_2(x-1)\le 5$.

ОДЗ: $x>1$. На ОДЗ: ${\log }_2((x+3)(x-1))\le {\log }_{2}32\Rightarrow x^2+2x-3\le 32\Rightarrow x^2+2x-35\le 0\Rightarrow (x+7)(x-5)\le 0\Rightarrow -7\le x\le 5$. С учётом ОДЗ: $1<x\le 5$. Ответ: $(1;5]$.

Как оформить: ОДЗ отдельной строкой; каждое преобразование – равносильное (с указанием, при каких условиях); рисунок метода интервалов со знаками; итоговое пересечение с ОДЗ; ответ промежутками с правильными скобками.

Критерии: 2 балла – обоснованно получен верный ответ; 1 балл – ответ отличается от верного включением/исключением отдельной точки (какой именно – указано в критериях к конкретному варианту) или вычислительная ошибка при верной последовательности шагов; 0 – иначе.

Ловушки: ${\log }_2{x}^2=2{\log }_2\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }$, а не $2{\log }_{2}x$ – иначе теряешь отрицательные $x$; забыть сменить знак при основании меньше 1; потерять точку, где знаменатель обращается в ноль или множитель в чётной степени.