9 задание ЕГЭ профильная математика

Прикладная задача

1 балл ≈ 5 мин уровень П

Задание 9 – задача с физическим или экономическим содержанием: дана формула, нужно подставить известные величины и найти неизвестную. Часто сводится к линейному, квадратному уравнению или неравенству.

Алгоритм

Выпиши, какие величины известны и какую найти. Проверь единицы: часы или минуты, метры или километры.
Подставь числа в формулу.
Реши уравнение или неравенство.
Выбери корень по смыслу (время положительное, высота неотрицательная) и переведи в нужные единицы.

Что пригодится: решение квадратного уравнения и неравенства, свойства степеней и логарифмов, умение выражать переменную из формулы: если $y = \frac{a b}{c}$ , то $c = \frac{a b}{y}$ .

Разобранный пример. Высота мяча над землёй меняется по закону $h (t) = 1, 6 + 8 t - 5 t^{2}$ ( $h$ в метрах, $t$ в секундах). Сколько секунд мяч находится на высоте не менее 3 м?

$1, 6 + 8 t - 5 t^{2} \geq 3 \Rightarrow 5 t^{2} - 8 t + 1, 4 \leq 0$ . $D = 64 - 28 = 36$ , корни $t = \frac{8 \pm 6}{10}$ : $0, 2$ и $1, 4$ . Мяч выше 3 м при $t \in [0, 2; 1, 4]$ , то есть $1, 4 - 0, 2 = 1, 2$ с. Ответ: 1,2.

Ловушки: ответ просят в минутах, а формула в часах (умножь на 60); в «сколько времени находится выше» нужна длина промежутка, а не один из корней; ускорение в км/ч² и скорость в км/ч – не смешивай с м/с.

На экзамене

Умножь неравенство на 10 или 100, чтобы избавиться от десятичных дробей, – ошибок станет меньше.
Если в ответе получилось отрицательное время или скорость, ты взял не тот корень.
Перед записью ответа перечитай, в каких единицах его просят.

Разобранные задания 9 из открытого банка ФИПИ

Пример 1 · код ФИПИ 344B7E

Перед отправкой тепловоз издал гудок с частотой $f_{0} = 192 Гц$ . Чуть позже гудок издал подъезжающий к платформе тепловоз. Из-за эффекта Доплера частота второго гудка $f$ (в Гц) больше первого: она зависит от скорости тепловоза $v$ (в м/с) по закону $f (v) = \frac{f_{0}}{1 - \frac{v}{c}}$ (Гц), где $c$ $—$ скорость звука (в м/с). Человек, стоящий на платформе, различает сигналы по тону, если они отличаются не менее чем на 8 Гц. Определите, с какой минимальной скоростью приближался к платформе тепловоз, если человек смог различить сигналы, а $c = 300 м/с$ . Ответ дайте в $м/с$ .

Показать ответ и решение

Ответ: 12

Нужно $f - f_{0} \geq 8$ : $\frac{192}{1 - \frac{v}{300}} \geq 200$ .

$1 - \frac{v}{300} \leq 0, 96 \Rightarrow v \geq 12$ м/с.

Пример 2 · код ФИПИ 934EC9

В ходе распада радиоактивного изотопа его масса m (в мг) уменьшается
по закону $m = m_{0} \cdot 2^{- \frac{τ}{T}}$ , где $m_{0}$ — начальная масса изотопа (в мг), $τ$ — время, прошедшее от начального момента, в минутах, $T$ — период полураспада
в минутах. В начальный момент времени масса изотопа 156 мг. Период его полураспада составляет 8 минут. Найдите, через сколько минут масса изотопа будет равна 39 мг.

Показать ответ и решение

Ответ: 16

$39 = 156 \cdot 2^{- τ / 8} \Rightarrow 2^{- τ / 8} = \frac{1}{4}$ .

$τ = 16$ .

Пример 3 · код ФИПИ D80A6F

К источнику с ЭДС $ε = 130 В$ и внутренним сопротивлением $r = 1 Ом$ хотят подключить нагрузку с сопротивлением $R$ (в Ом). Напряжение (в В) на этой нагрузке вычисляется по формуле $U = \frac{ε R}{R + r}$ . При каком значении сопротивления нагрузки напряжение на ней будет равно $120 В$ ? Ответ дайте в омах.

Показать ответ и решение

Ответ: 12

$\frac{130 R}{R + 1} = 120 \Rightarrow 10 R = 120$ .

$R = 12$ .

Частые вопросы о задании 9

Сколько баллов даёт задание 9 ЕГЭ по профильной математике?

Максимум – 1 первичный балл. Норма времени на экзамене – около 5 мин. Уровень сложности – П.

Что проверяет задание 9?

Как подготовиться к заданию 9?

Прочитайте теорию выше: алгоритм, нужные факты и ловушки. Затем решите подход из 10 заданий с автопроверкой и разбором – первые без регистрации – и вернитесь к ошибкам. В пробниках Сотки номер встречается в полных вариантах ФИПИ с подсчётом баллов.