19 задание ЕГЭ профильная математика

Задание 19 (4 балла) – задача на целые числа из трёх пунктов: а) и б) обычно «можно ли…?» (пример или доказательство невозможности), в) – найти наибольшее или наименьшее значение.

Алгоритм

1. Пункт а почти всегда решается примером. Подбери его и проверь все условия.
2. Пункт б: попробуй построить пример; если не выходит – ищи причину (чётность, делимость, оценка суммы) и докажи, что нельзя.
3. Пункт в: оценка + пример. Докажи, что лучше определённого значения нельзя, и приведи пример, где оно достигается.

Инструменты: чётность, остатки ($<mrow><mi\; mathvariant="normal">m</mi><mi\; mathvariant="normal">o</mi><mi\; mathvariant="normal">d</mi></mrow>3$, $<mrow><mi\; mathvariant="normal">m</mi><mi\; mathvariant="normal">o</mi><mi\; mathvariant="normal">d</mi></mrow>9$), признаки делимости, сумма арифметической прогрессии $1+2+\dots +n=\frac{n(n+1)}{2}$, среднее арифметическое, «крайний» элемент, инвариант (что не меняется при операциях).

Разобранный пример. На доске написано несколько различных натуральных чисел с суммой 40. а) Может ли их быть 8? б) Может ли их быть 9? в) Какое наибольшее количество чётных чисел может быть среди них?

а) Да: $1+2+3+4+5+6+7+12=40$.
б) Нет: сумма 9 различных натуральных чисел не меньше $1+2+\dots +9=45>40$.
в) Шесть различных чётных чисел дают сумму не меньше $2+4+6+8+10+12=42>40$, значит чётных не больше 5. Пример с пятью: $2+4+6+8+20=40$. Ответ: а) да; б) нет; в) 5.

Как оформить: пример – с явной проверкой всех условий; невозможность – полное рассуждение, а не «не получилось подобрать»; в пункте в – обе части (оценка и пример), без любой из них пункт не засчитают.

Критерии: 4 балла – обоснованно получены верные ответы в а, б и в; 3 балла – верный ответ в в и в одном из а или б; 2 балла – верные ответы в а и б или верный ответ в в; 1 балл – верный ответ в а или б.

Ловушки: ответ «нет» без доказательства – 0 за пункт; пример, нарушающий одно из условий (числа не различны, не натуральны); в пункте в – только пример без оценки.