17 задание ЕГЭ профильная математика

Планиметрия: доказательство и вычисление

3 балла ≈ 35 мин уровень П Планиметрия (доказательство и вычисление)

Задание 17 (3 балла): а) доказать геометрический факт; б) найти длину, угол, площадь или отношение. Пункт б обычно опирается на а.

Алгоритм

Сделай большой точный чертёж циркулем и линейкой (на черновике) – часто сразу видно, что надо доказать.
Ищи равные углы: вписанные, при параллельных прямых, в подобных треугольниках.
Пункт а пиши цепочкой «утверждение – обоснование».
Пункт б: подобие, теоремы синусов и косинусов, площади, свойства касательных и секущих.

Ключевые факты

Признаки подобия; отношение площадей подобных фигур равно $k^{2}$ .
Четыре точки лежат на одной окружности, если отрезок виден из двух точек под равными углами (в частности, под прямым).
Хорды: $A E \cdot E B = C E \cdot E D$ ; касательная и секущая: $M T^{2} = M A \cdot M B$ .
Биссектриса делит сторону пропорционально прилежащим сторонам. $S = p r$ , $S = \frac{a b c}{4 R}$ .
Используй без доказательства только факты из школьных учебников. Если сомневаешься (теоремы Птолемея, Менелая), коротко докажи или обойди.

Разобранный пример. В остроугольном треугольнике $A B C$ проведены высоты $A A_{1}$ и $B B_{1}$ . а) Докажи, что $△ A_{1} B_{1} C \sim △ A B C$ . б) Найди $A_{1} B_{1}$ , если $A B = 10$ , $∠ C = 6 0^{\circ}$ .

а) $∠ A A_{1} B = ∠ A B_{1} B = 9 0^{\circ}$ , значит $A, B, A_{1}, B_{1}$ лежат на окружности с диаметром $A B$ . В этом вписанном четырёхугольнике $∠ B_{1} A_{1} C = 18 0^{\circ} - ∠ B A_{1} B_{1} = ∠ B A B_{1} = ∠ B A C$ . Угол $C$ общий – треугольники подобны по двум углам.
б) Из прямоугольного $△ A A_{1} C$ : $C A_{1} = A C \cos C$ , значит коэффициент подобия $k = \frac{C A_{1}}{C A} = \cos 6 0^{\circ} = \frac{1}{2}$ . $A_{1} B_{1} = A B \cdot k = 5$ . Ответ: 5.

Как оформить: чертёж; каждое равенство углов или отрезков – со ссылкой на причину; в б – явно указать, какие треугольники подобны и с каким коэффициентом; ответ.

Критерии: 3 балла – доказан а и обоснованно получен верный ответ в б; 2 балла – обоснованный ответ в б или доказан а, но в б арифметическая ошибка; 1 балл – доказан а, или в обоснованном б арифметическая ошибка, или верный ответ в б с использованием а без доказательства а.

Ловушки: доказательство «по рисунку»; рассматривать только один вариант расположения точек, когда возможны два; путать соответственные стороны при подобии.

На экзамене

Не смог доказать а – решай б, считая а верным: это 1–2 балла.
Чертёж с реальными пропорциями подсказывает ответ: измерь линейкой и сверь с вычислением.
Ищи вписанные четырёхугольники – это самый частый ключ к пункту а.

Частые вопросы о задании 17

Сколько баллов даёт задание 17 ЕГЭ по профильной математике?

Максимум – 3 первичных балла. Норма времени на экзамене – около 35 мин. Уровень сложности – П.

Что проверяет задание 17?

Как подготовиться к заданию 17?

Прочитайте теорию выше: алгоритм, нужные факты и ловушки. Затем решите подход из 10 заданий с автопроверкой и разбором – первые без регистрации – и вернитесь к ошибкам. В пробниках Сотки номер встречается в полных вариантах ФИПИ с подсчётом баллов.