10 задание ЕГЭ профильная математика

Текстовая задача

1 балл ≈ 6 мин уровень П

Задание 10 – текстовая задача на движение, работу, смеси и сплавы, проценты, прогрессии. Нужно составить уравнение и решить его.

Алгоритм

Обозначь за $x$ то, что спрашивают (или удобную величину).
Составь таблицу: строки – участники или этапы, столбцы – три связанные величины (скорость, время, расстояние или производительность, время, работа).
Найди условие равенства и составь уравнение.
Реши, отбрось корни, не подходящие по смыслу, и проверь, ответ ли это на вопрос.

Формулы

Движение: $S = v t$ ; по течению $v + u$ , против $v - u$ ; навстречу скорости складываются, вдогонку – вычитаются.
Работа: $A = p t$ ; вся работа часто принимается за 1; совместная производительность – сумма.
Смеси: масса вещества = концентрация × масса смеси.
Проценты: увеличение на $p %$ – умножение на $1 + \frac{p}{100}$ .
Прогрессии: $a_{n} = a_{1} + d (n - 1)$ , $S_{n} = \frac{a_{1} + a_{n}}{2} n$ ; $b_{n} = b_{1} q^{n - 1}$ .

Разобранный пример. Лодка прошла 48 км по течению и вернулась обратно, затратив на весь путь 7 ч. Скорость течения 2 км/ч. Найди собственную скорость лодки.

$\frac{48}{v + 2} + \frac{48}{v - 2} = 7 \Rightarrow 48 \cdot 2 v = 7 (v^{2} - 4) \Rightarrow 7 v^{2} - 96 v - 28 = 0$ . $D = 9216 + 784 = 10000$ , $v = \frac{96 + 100}{14} = 14$ (второй корень отрицательный). Ответ: 14.

Ловушки: спрашивают скорость второго, а ты нашёл первого; время в минутах при скорости в км/ч (20 мин = $\frac{1}{3}$ ч); проценты считаются от разных величин; «на 2 больше» и «в 2 раза больше» – разные условия.

На экзамене

Таблица «v – t – S» снимает 90% путаницы. Рисуй её всегда.
Большой дискриминант не пугайся: в ответе почти всегда целое число, $D$ – полный квадрат.
Проверь ответ подстановкой в текст задачи, а не в уравнение.

Разобранные задания 10 из открытого банка ФИПИ

Пример 1 · код ФИПИ 366c0F

Два велосипедиста одновременно отправились в 90-километровый пробег. Первый ехал со скоростью, на 5 км/ч большей, чем скорость второго,
и прибыл к финишу на 3 часа раньше второго. Найдите скорость велосипедиста, пришедшего к финишу первым. Ответ дайте в км/ч.

Показать ответ и решение

Ответ: 15

Пусть скорость второго $v$ : $\frac{90}{v} - \frac{90}{v + 5} = 3$ .

$150 = v (v + 5) \Rightarrow v = 10$ . Первый: $15$ км/ч.

Пример 2 · код ФИПИ DDFADF

Первый насос наполняет бак за 11 минут, второй — за 15 минут, а третий — за 1 час 50 минут. За сколько минут наполнят этот бак три насоса, работая одновременно?

Показать ответ и решение

Ответ: 6

Совместная производительность: $\frac{1}{11} + \frac{1}{15} + \frac{1}{110} = \frac{30 + 22 + 3}{330} = \frac{1}{6}$ .

Время: 6 минут.

Пример 3 · код ФИПИ BAF165

Два велосипедиста одновременно отправились в 160-километровый пробег. Первый ехал со скоростью на 6 км/ч большей, чем скорость второго,
и прибыл к финишу на 6 часов раньше второго. Найдите скорость велосипедиста, пришедшего к финишу вторым. Ответ дайте в км/ч.

Показать ответ и решение

Ответ: 10

$\frac{160}{v} - \frac{160}{v + 6} = 6 \Rightarrow v^{2} + 6 v - 160 = 0$ .

$v = 10$ .

Частые вопросы о задании 10

Сколько баллов даёт задание 10 ЕГЭ по профильной математике?

Максимум – 1 первичный балл. Норма времени на экзамене – около 6 мин. Уровень сложности – П.

Что проверяет задание 10?

Как подготовиться к заданию 10?

Прочитайте теорию выше: алгоритм, нужные факты и ловушки. Затем решите подход из 10 заданий с автопроверкой и разбором – первые без регистрации – и вернитесь к ошибкам. В пробниках Сотки номер встречается в полных вариантах ФИПИ с подсчётом баллов.