13 задание ЕГЭ профильная математика

Задание 13 (2 балла) – уравнение (обычно тригонометрическое, иногда с показательными или логарифмическими множителями): а) решить; б) отобрать корни на отрезке.

Алгоритм

1. Найди ОДЗ, если есть знаменатель, логарифм, корень или $\mathrm{tg}$.
2. Приведи к одной функции (${\cos }^{2}x=1-{\sin }^{2}x$), разложи на множители или сделай замену. Делить на выражение с $x$ нельзя – выноси за скобку.
3. Реши простейшие уравнения, запиши серии с $k\in \mathbb{Z}$.
4. Отбери корни: единичной окружностью, двойным неравенством для $k$ или перебором $k$.

Формулы: ${\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x=1$, $\sin 2x=2\sin x\cos x$, $\cos 2x=1-2{\sin }^{2}x=2{\cos }^{2}x-1$, формулы приведения; однородное уравнение $a{\sin }^{2}x+b\sin x\cos x+c{\cos }^{2}x=0$ делят на ${\cos }^{2}x$ (проверив, что $\cos x=0$ не корень).

Разобранный пример. а) Реши $2{\cos }^{2}x-\sin x-1=0$. б) Найди корни на $[-2\pi ;-\frac{\pi }{2}]$.

а) $2(1-{\sin }^{2}x)-\sin x-1=0\Rightarrow 2{\sin }^{2}x+\sin x-1=0$. Замена $t=\sin x$: $t=\frac{1}{2}$ или $t=-1$.
$x=\frac{\pi }{6}+2\pi k$, $x=\frac{5\pi }{6}+2\pi k$, $x=-\frac{\pi }{2}+2\pi k$, $k\in \mathbb{Z}$.
б) На отрезке: $\frac{\pi }{6}-2\pi =-\frac{11\pi }{6}$, $\frac{5\pi }{6}-2\pi =-\frac{7\pi }{6}$, $-\frac{\pi }{2}$ (конец отрезка входит). Остальные значения $k$ дают точки вне отрезка.
Ответ: а) $\frac{\pi }{6}+2\pi k,\frac{5\pi }{6}+2\pi k,-\frac{\pi }{2}+2\pi k,k\in \mathbb{Z}$; б) $-\frac{11\pi }{6};-\frac{7\pi }{6};-\frac{\pi }{2}$.

Как оформить: замена и её ограничение ($\mathrm{\mid }t\mathrm{\mid }\le 1$), решение для $t$, серии корней с «$k\in \mathbb{Z}$», отбор с явным обоснованием (рисунок окружности с отмеченной дугой или неравенство для $k$), отдельный ответ на а) и б).

Критерии: 2 балла – обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах; 1 балл – верный ответ в пункте а или вычислительная ошибка при верной последовательности всех шагов обоих пунктов; 0 – иначе. Верный ответ без решения – 0.

Ловушки: сокращение на $\sin x$ – потеря серии; забытое ОДЗ ($\cos x\mathrm{\ne }0$ при $\mathrm{tg}$); корни на границе отрезка; «некрасивая» серия $\arccos \frac{1}{3}$ – её тоже надо отбирать оценкой.