12 задание ЕГЭ базовая математика

Планиметрия

1 балл ≈ 8 мин уровень Б

Задание 12 – вычисление элементов треугольников, четырёхугольников и окружностей: сторон, углов, медиан, высот, площадей.

Алгоритм

Нарисуй фигуру и отметь данные.
Найди прямоугольный треугольник (часто его дают высота или медиана в равнобедренном треугольнике).
Примени теорему Пифагора, синус/косинус или свойства фигуры.

Что нужно знать

Сумма углов треугольника $18 0^{\circ}$ ; в равнобедренном треугольнике медиана к основанию является высотой и биссектрисой.
Прямоугольный треугольник: $c^{2} = a^{2} + b^{2}$ , $\sin A = \frac{a}{c}$ , $\cos A = \frac{b}{c}$ , $tg A = \frac{a}{b}$ ; медиана к гипотенузе равна половине гипотенузы.
Площади: $S = \frac{1}{2} a h$ , $S = \frac{1}{2} a b \sin C$ ; параллелограмм $S = a h$ ; ромб $S = \frac{1}{2} d_{1} d_{2}$ .
Вписанный угол равен половине центрального, опирающегося на ту же дугу.
Параллелограмм: противоположные стороны и углы равны, сумма соседних углов $18 0^{\circ}$ .

Разобранный пример. В треугольнике $A B C$ $A B = B C = 13$ , $A C = 10$ . Найди высоту $B H$ и площадь треугольника.

$B H$ – медиана, $A H = 5$ . $B H = \sqrt{1 3^{2} - 5^{2}} = \sqrt{144} = 12$ . $S = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 12 = 60$ .

Ловушки: брать в теореме Пифагора всё основание вместо половины; путать катет и гипотенузу; считать, что медиана – это высота в неравнобедренном треугольнике.

На экзамене

Равнобедренный треугольник – сразу проводи высоту к основанию и получай два прямоугольных.
Узнавай пифагоровы тройки: 5–12–13, 3–4–5, 8–15–17.
Ответ проверь здравым смыслом: высота меньше боковой стороны.

Разобранные задания 12 из открытого банка ФИПИ

Пример 1 · код ФИПИ 101DC4

Рисунок к заданию

В прямоугольном треугольнике наибольший из катетов равен 40. Гипотенуза равна 41. Найдите наименьшую среднюю линию этого треугольника.

Показать ответ и решение

Ответ: 4,5

Второй катет $\sqrt{4 1^{2} - 4 0^{2}} = 9$ .

Наименьшая средняя линия – половина меньшего катета: 4,5.

Пример 2 · код ФИПИ 5695BD

В треугольнике $A B C$ угол $C$ равен $90 ° ,$ $A B = 30,$ $A C = 24.$ Найдите $\cos B .$

Рисунок к заданию

Показать ответ и решение

Ответ: 0,6

$B C = \sqrt{3 0^{2} - 2 4^{2}} = \sqrt{324} = 18$ .

$\cos B = \frac{B C}{A B} = \frac{18}{30} = 0, 6$ .

Пример 3 · код ФИПИ C000F2

Рисунок к заданию

Площадь прямоугольника $A B C D$ равна 192, $B C = 12$ . Найдите синус угла $C A B$ .

Показать ответ и решение

Ответ: 0,6

$A B = \frac{192}{12} = 16$ , диагональ $A C = \sqrt{1 6^{2} + 1 2^{2}} = 20$ .

$\sin ∠ C A B = \frac{B C}{A C} = \frac{12}{20} = 0, 6$ .

Ответ: 0,6.

Частые вопросы о задании 12

Сколько баллов даёт задание 12 ЕГЭ по базовой математике?

Максимум – 1 первичный балл. Норма времени на экзамене – около 8 мин. Уровень сложности – Б.

Что проверяет задание 12?

Как подготовиться к заданию 12?

Прочитайте теорию выше: алгоритм, нужные факты и ловушки. Затем решите подход из 10 заданий с автопроверкой и разбором – первые без регистрации – и вернитесь к ошибкам. В пробниках Сотки номер встречается в полных вариантах ФИПИ с подсчётом баллов.