13 задание ЕГЭ базовая математика

Стереометрия: тела вращения, многогранники

1 балл ≈ 8 мин уровень Б

Задание 13 – объёмы и площади поверхностей конуса, цилиндра, шара, пирамиды, призмы; изменение объёма при изменении размеров.

Алгоритм

Определи тело и нужную формулу.
Найди недостающие размеры (часто через теорему Пифагора: образующая конуса, высота пирамиды).
Посчитай. Если спрашивают «во сколько раз», работай с отношениями.

Формулы

Цилиндр	$V = π r^{2} h$ , $S_{бок} = 2 π r h$
Конус	$V = \frac{1}{3} π r^{2} h$ , $S_{бок} = π r l$ , $l^{2} = r^{2} + h^{2}$
Шар	$V = \frac{4}{3} π R^{3}$ , $S = 4 π R^{2}$
Пирамида	$V = \frac{1}{3} S_{осн} h$
Призма	$V = S_{осн} h$

Подобие: если размеры отличаются в $k$ раз, объёмы отличаются в $k^{3}$ раз. Плоскость, параллельная основанию конуса и делящая высоту в отношении $1 : 2$ от вершины, отсекает конус, подобный исходному с $k = \frac{1}{3}$ , – его объём в 27 раз меньше.

Разобранный пример. Радиус основания конуса 3, высота 4. Найди площадь боковой поверхности, делённую на $π$ .

Образующая $l = \sqrt{3^{2} + 4^{2}} = 5$ . $S_{бок} = π \cdot 3 \cdot 5 = 15 π$ . Ответ: 15.

Ловушки: взять высоту вместо образующей в формуле боковой поверхности; диаметр вместо радиуса; в подобии отношение $1 : 2$ – это $k = \frac{1}{3}$ от всей высоты, а не $\frac{1}{2}$ .

На экзамене

Если ответ просят «делённым на $π$ », просто не умножай на $π$ .
«Во сколько раз» – возводи отношение размеров в куб для объёма, в квадрат для площади.
Нарисуй осевое сечение конуса – это равнобедренный треугольник, в нём всё видно.

Разобранные задания 13 из открытого банка ФИПИ

Пример 1 · код ФИПИ 8C2DDF

Два ребра прямоугольного параллелепипеда равны 1 и 5,
а объём параллелепипеда равен 30. Найдите площадь поверхности этого параллелепипеда.

Рисунок к заданию

Показать ответ и решение

Ответ: 82

Третье ребро $\frac{30}{1 \cdot 5} = 6$ .

$S = 2 (1 \cdot 5 + 1 \cdot 6 + 5 \cdot 6) = 2 \cdot 41 = 82$ .

Пример 2 · код ФИПИ F5C09A

От деревянного кубика отпилили все его вершины (см. рис.). Сколько граней у получившегося многогранника (невидимые рёбра на рисунке не изображены)?

Рисунок к заданию

Показать ответ и решение

Ответ: 14

У куба 6 граней и 8 вершин.

Каждая отпиленная вершина даёт новую грань: $6 + 8 = 14$ .

Пример 3 · код ФИПИ 51D555

Рисунок к заданию

В сосуде, имеющем форму конуса, уровень жидкости достигает $\frac{1}{2}$ высоты. Объём жидкости равен 15 мл. Найдите объём сосуда. Ответ дайте в миллилитрах.

Показать ответ и решение

Ответ: 120

Жидкость занимает конус, подобный сосуду с коэффициентом $\frac{1}{2}$ , объёмы относятся как куб коэффициента: $\frac{1}{8}$ .

$V = 15 \cdot 8 = 120$ мл.

Частые вопросы о задании 13

Сколько баллов даёт задание 13 ЕГЭ по базовой математике?

Максимум – 1 первичный балл. Норма времени на экзамене – около 8 мин. Уровень сложности – Б.

Что проверяет задание 13?

Как подготовиться к заданию 13?

Прочитайте теорию выше: алгоритм, нужные факты и ловушки. Затем решите подход из 10 заданий с автопроверкой и разбором – первые без регистрации – и вернитесь к ошибкам. В пробниках Сотки номер встречается в полных вариантах ФИПИ с подсчётом баллов.