7 задание ЕГЭ базовая математика

Функция, производная, графики

1 балл ≈ 7 мин уровень Б

Задание 7 – по графику функции соотнести точки или интервалы с характеристиками: знак функции, знак производной, значение производной (наклон касательной).

Алгоритм

Пойми, о чём каждая характеристика: о значении функции или о производной.
Для каждой точки определи: выше/ниже оси $O x$ график, растёт или убывает, насколько круто.
Сопоставь, начиная с самых очевидных пар.

Что нужно знать

Функция возрастает – производная положительна; убывает – отрицательна; в вершине «горки» или «ямки» – равна нулю.
Производная в точке равна угловому коэффициенту касательной: $f^{'} (x_{0}) = k = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .
Чем круче касательная, тем больше модуль производной. Большая положительная производная – крутой подъём, отрицательная с большим модулем – крутой спуск.
Знак самой функции: график выше оси $O x$ – $f > 0$ .

Разобранный пример. Касательная к графику в точке $A$ проходит через точки $(0; 1)$ и $(4; 3)$ . Чему равна производная в точке $A$ ?

$k = \frac{3 - 1}{4 - 0} = 0, 5$ . Касательная идёт вверх, но полого – значение 0,5 подходит именно для «пологого подъёма». Ответ: 0,5.

Ловушки: путать «функция положительна» и «производная положительна»; при выборе между $3$ и $\frac{2}{3}$ забыть сравнить крутизну; путать порядок букв в ответе.

На экзамене

Сначала разбери точки по знаку производной (вверх/вниз), потом по крутизне.
Если значений два положительных, большему соответствует более крутой подъём.
Ответ – цифры в порядке букв: A, B, C, D.

Разобранные задания 7 из открытого банка ФИПИ

Пример 1 · код ФИПИ 58D036

На рисунках изображены графики функций вида $y = k x + b .$ Установите соответствие между графиками функций и угловыми коэффициентами прямых.

ГРАФИКИ

А)
Б)

В)
Г)

УГЛОВЫЕ КОЭФФИЦИЕНТЫ

1)	0,2
2)	5
3)	– 1,5
4)	– 0,6

В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер углового коэффициента.

Показать ответ и решение

Ответ: 2431

Знак $k$ – по наклону, модуль – по крутизне.

А) круто возрастает – $k = 5$ (2). Б) полого убывает – $k = - 0, 6$ (4). В) круто убывает – $k = - 1, 5$ (3). Г) полого возрастает – $k = 0, 2$ (1).

Ответ: 2431.

Пример 2 · код ФИПИ BA6CC5

Установите соответствие между функциями и характеристиками этих функций.

ФУНКЦИИ

ХАРАКТЕРИСТИКИ

А)	$y = 5 x - 1$
Б)	$y = 10 x - x^{2}$
В)	$y = x^{2} - 4 x + 7$
Г)	$y = 6 - x$

1)	функция возрастающая
2)	функция имеет точку минимума
3)	функция убывающая
4)	функция имеет точку максимума

В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.

Показать ответ и решение

Ответ: 1423

А: $y = 5 x - 1$ возрастает (1). Б: $y = 10 x - x^{2}$ , ветви вниз – максимум (4).

В: $y = x^{2} - 4 x + 7$ , ветви вверх – минимум (2). Г: $y = 6 - x$ убывает (3).

Ответ: 1423.

Пример 3 · код ФИПИ F95BA3

На рисунке изображён график функции $y = f (x)$ . Числа $a, b, c, d и e$ задают на оси $O x$ интервалы. Пользуясь графиком, поставьте в соответствие каждому интервалу характеристику функции или её производной.

Рисунок к заданию

ИНТЕРВАЛЫ

ХАРАКТЕРИСТИКИ

А)	$(a; b)$
Б)	$(b; c)$
В)	$(c; d)$
Г)	$(d; e)$

1)	значение производной функции отрицательно в каждой точке интервала
2)	функция и её производная на интервале принимают как положительные, так и отрицательные значения
3)	значение функции положительно в каждой точке интервала, а производная функции принимает как положительные, так и отрицательные значения
4)	значение производной функции положительно в каждой точке интервала

В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.

Показать ответ и решение

Ответ: 2134

А: на $(a; b)$ функция меняет знак, есть максимум – 2.

Б: на $(b; c)$ функция убывает – 1. В: на $(c; d)$ функция положительна, есть минимум – 3.

Г: на $(d; e)$ функция возрастает – 4.

Частые вопросы о задании 7

Сколько баллов даёт задание 7 ЕГЭ по базовой математике?

Максимум – 1 первичный балл. Норма времени на экзамене – около 7 мин. Уровень сложности – Б.

Что проверяет задание 7?

Как подготовиться к заданию 7?

Прочитайте теорию выше: алгоритм, нужные факты и ловушки. Затем решите подход из 10 заданий с автопроверкой и разбором – первые без регистрации – и вернитесь к ошибкам. В пробниках Сотки номер встречается в полных вариантах ФИПИ с подсчётом баллов.