21 задание ЕГЭ базовая математика

Задача на смекалку

1 балл ≈ 15 мин уровень Б

Задание 21 – нестандартная задача: улитка на дереве, взвешивания, разрезания, очки за ответы, перестановки. Решается рассуждением, перебором или маленьким уравнением в целых числах.

Приёмы

Перебор с отсечением: выпиши все варианты, но сразу отбрасывай неподходящие.
С конца: если известен результат, иди от него назад.
Уравнение в целых числах: $7 x - 13 y = 56$ – подбирай $y$ так, чтобы $56 + 13 y$ делилось на 7.
Особый последний шаг: в задачах «днём вперёд, ночью назад» последний день – без отката.
Чётность и крайние случаи.

Алгоритм

Прочитай условие дважды, выпиши все ограничения (натуральные числа, «хотя бы один раз ошибся»).
Попробуй решить на маленьких числах или нарисуй процесс.
Найди ответ и проверь его по всем условиям.

Разобранный пример. Улитка за день поднимается по столбу на 4 м, а за ночь сползает на 3 м. Высота столба 10 м. За сколько дней улитка впервые доберётся до вершины?

За полные сутки улитка поднимается на 1 м. К утру $n$ -го дня она на высоте $n - 1$ м, а к вечеру – на $n - 1 + 4 = n + 3$ м. Нужно $n + 3 \geq 10$ , то есть $n \geq 7$ . Проверка: утром 7-го дня улитка на 6 м, днём поднимется до 10 м. Ответ: 7.

Ловушки: «10 дней» по формуле «10 м : 1 м в сутки» – забыт последний день без сползания; проигнорировать условие вроде «хотя бы раз ошибся», которое отсекает лишний ответ; не проверить, что ответ натуральный.

На экзамене

Рисуй! Схема процесса по шагам почти всегда показывает ответ.
В уравнениях в целых числах перебирай ту переменную, у которой меньше вариантов.
Если задача кажется слишком простой – перечитай условие: подвох в последнем шаге или в ограничении.

Разобранные задания 21 из открытого банка ФИПИ

Пример 1 · код ФИПИ 041C0F

Список заданий викторины состоял из 25 вопросов. За каждый правильный ответ ученик получал 7 очков, за неправильный ответ с него списывали
10 очков, а при отсутствии ответа давали 0 очков. Сколько верных ответов дал ученик, набравший 42 очка, если известно, что по крайней мере один раз он ошибся?

Показать ответ и решение

Ответ: 16

Пусть верных $a$ , неверных $b \geq 1$ : $7 a - 10 b = 42$ , $a + b \leq 25$ .

$7 a = 42 + 10 b$ – значит $b$ кратно 7: $b = 7$ , $a = 16$ ( $a + b = 23 \leq 25$ ); $b = 14$ даёт $a = 26$ – слишком много.

Ответ: 16.

Пример 2 · код ФИПИ 5A031A

В таблице три столбца и несколько строк. В каждую клетку таблицы вписали по натуральному числу так, что сумма всех чисел в первом столбце
равна 191, во втором $—$ 176, в третьем $—$ 184, а сумма чисел в каждой строке больше 25, но меньше 28. Сколько всего строк в таблице?

Показать ответ и решение

Ответ: 21

Сумма всех чисел $191 + 176 + 184 = 551$ . Сумма в строке – 26 или 27.

Если строк $k$ , то $26 k \leq 551 \leq 27 k$ , откуда $20, 4 \leq k \leq 21, 2$ , $k = 21$ .

Пример 3 · код ФИПИ C76854

Во всех подъездах дома одинаковое число этажей, а на каждом этаже в любом подъезде одинаковое число квартир. При этом число этажей в доме больше числа квартир на этаже, число квартир на этаже больше числа подъездов,
а число подъездов больше одного. Сколько этажей в доме, если всего в нём 345 квартир?

Показать ответ и решение

Ответ: 23

$345 = 3 \cdot 5 \cdot 23$ = подъезды · квартиры на этаже · этажи.

Подъездов больше 1, этажей > квартир на этаже > подъездов: подъездов 3, квартир на этаже 5, этажей 23.

Ответ: 23.

Частые вопросы о задании 21

Сколько баллов даёт задание 21 ЕГЭ по базовой математике?

Максимум – 1 первичный балл. Норма времени на экзамене – около 15 мин. Уровень сложности – Б.

Что проверяет задание 21?

Как подготовиться к заданию 21?

Прочитайте теорию выше: алгоритм, нужные факты и ловушки. Затем решите подход из 10 заданий с автопроверкой и разбором – первые без регистрации – и вернитесь к ошибкам. В пробниках Сотки номер встречается в полных вариантах ФИПИ с подсчётом баллов.