15 задание ОГЭ математика

Задача на вычисление в треугольнике, чаще всего прямоугольном: найти сторону, угол, площадь.

Формулы прямоугольного треугольника (угол $C=90^{\circ }$, $AB=c$ – гипотенуза)

• Теорема Пифагора: $a^2+b^2=c^2$.
• $\sin A={\displaystyle \frac{BC}{AB}}$ (противолежащий катет : гипотенуза), $\cos A={\displaystyle \frac{AC}{AB}}$ (прилежащий : гипотенуза), $\mathrm{tg}A={\displaystyle \frac{BC}{AC}}$.
• $\sin A=\cos B$; ${\sin }^{2}A+{\cos }^{2}A=1$.
• Катет против угла $30^{\circ }$ равен половине гипотенузы. Медиана к гипотенузе равна половине гипотенузы.
• Площадь $S={\displaystyle \frac{1}{2}}ab$ (катеты), для любого треугольника $S={\displaystyle \frac{1}{2}}ah$, $S={\displaystyle \frac{1}{2}}ab\sin C$.
• Сумма углов треугольника $180^{\circ }$; в равнобедренном углы при основании равны.

Разбор примера. В треугольнике $ABC$ угол $C=90^{\circ }$, $AB=20$, $\cos A=0,6$. Найди $BC$. $AC=AB\cdot \cos A=20\cdot 0,6=12$. $BC=\sqrt{20^2-12^2}=\sqrt{256}=16$. Ответ: 16.

Второй способ: $\sin A=\sqrt{1-0,36}=0,8$, $BC=AB\sin A=16$.

Ловушки: перепутать противолежащий и прилежащий катет – обязательно нарисуй треугольник и подпиши вершины; синус угла $B$ – это отношение катета $AC$ к гипотенузе.