16 задание ОГЭ математика

Задача на углы и отрезки в окружности: касательные, вписанные и центральные углы, вписанные и описанные многоугольники.

Факты

• Касательная перпендикулярна радиусу, проведённому в точку касания.
• Отрезки касательных из одной точки равны.
• Вписанный угол равен половине центрального, опирающегося на ту же дугу. Вписанный угол, опирающийся на диаметр, – прямой.
• В четырёхугольнике, вписанном в окружность, сумма противоположных углов $180^{\circ }$. В описанном – суммы противоположных сторон равны.
• Центр описанной около прямоугольного треугольника окружности – середина гипотенузы, $R={\displaystyle \frac{c}{2}}$.
• Длина окружности $2\pi R$, площадь круга $\pi R^2$.

Разбор примера. Касательные к окружности с центром $O$ в точках $A$ и $B$ пересекаются в точке $P$, $\mathrm{\angle }APB=50^{\circ }$. Найди $\mathrm{\angle }ABO$. В четырёхугольнике $PAOB$ углы при $A$ и $B$ по $90^{\circ }$ (касательная ⟂ радиусу). Тогда $\mathrm{\angle }AOB=360^{\circ }-90^{\circ }-90^{\circ }-50^{\circ }=130^{\circ }$. Треугольник $AOB$ равнобедренный ($OA=OB=R$): $\mathrm{\angle }ABO={\displaystyle \frac{180^{\circ }-130^{\circ }}{2}}=25^{\circ }$. Ответ: 25.

Ловушки: принять вписанный угол за центральный; забыть, что два радиуса образуют равнобедренный треугольник.