22 задание ОГЭ математика

Нужно построить график функции (часто с модулем, дробью или кусочно заданной) и найти значения параметра, при которых прямая $y=m$ или $y=kx$ имеет с графиком заданное число общих точек. Максимум – 2 балла.

За что ставят баллы

• 2 балла – график построен верно, значения параметра найдены верно.
• 1 балл – график верный, параметр найден неверно или не найден.

Алгоритм

1. Найди область определения: знаменатель не равен нулю.
2. Упрости формулу: сократи дробь, раскрой модуль на промежутках ($\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }=x$ при $x\ge 0$, $\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }=-x$ при $x<0$).
3. Найди выколотые точки: подставь исключённый $x$ в упрощённую формулу.
4. Построй график по таблице значений, отметь вершину параболы, выколотые точки – пустым кружком.
5. Двигай горизонтальную прямую $y=m$ и смотри, при каких $m$ нужное число пересечений. Особые положения – вершина и выколотые точки.

Разбор примера. $y={\displaystyle \frac{(x+2)(x^2-x)}{x+2}}$. Найди $m$, при которых прямая $y=m$ имеет с графиком ровно одну общую точку.

ОДЗ: $x\mathrm{\ne }-2$. Упрощаем: $y=x^2-x$. Выколотая точка: $x=-2$, $y=4+2=6$, точка $(-2;6)$. Вершина: $x_0={\displaystyle \frac{1}{2}}$, $y_0={\displaystyle \frac{1}{4}}-{\displaystyle \frac{1}{2}}=-0,25$.

Одна общая точка: при $m=-0,25$ (касание в вершине) и при $m=6$: уравнение $x^2-x=6$ даёт $x=3$ и $x=-2$, но $x=-2$ выколота – остаётся одна точка.

Ответ: $m=-0,25$; $m=6$.

Ловушки: забыть выколотую точку (теряется одно значение параметра); построить «на глаз» без таблицы значений; неверно раскрыть модуль.