23 задание ОГЭ математика

Задача на вычисление с полным решением: подобие, теорема Пифагора, тригонометрия, площади, свойства окружности. Максимум – 2 балла.

За что ставят баллы

• 2 балла – ход решения верный, все шаги выполнены правильно, ответ верный.
• 1 балл – решение в целом верное, но с несущественными недостатками или вычислительной ошибкой.

Самые нужные инструменты

• Признаки подобия треугольников: по двум углам; по двум сторонам и углу между ними; по трём сторонам. Отношение сходственных сторон = коэффициент $k$, площадей = $k^2$.
• Накрест лежащие углы при параллельных прямых равны; вертикальные углы равны.
• Теорема косинусов $a^2=b^2+c^2-2bc\cos A$, теорема синусов ${\displaystyle \frac{a}{\sin A}}=2R$.

Как оформлять: рисунок, затем цепочка утверждений, каждое с причиной в скобках, затем ответ.

Разбор примера. В трапеции $ABCD$ с основаниями $BC=4$ и $AD=10$ диагонали пересекаются в точке $O$, $AC=21$. Найдите $AO$.

$\mathrm{\angle }OAD=\mathrm{\angle }OCB$ (накрест лежащие при $AD\parallel BC$ и секущей $AC$), $\mathrm{\angle }AOD=\mathrm{\angle }COB$ (вертикальные). Значит, $\mathrm{△}AOD\sim \mathrm{△}COB$ по двум углам, $k={\displaystyle \frac{AD}{BC}}={\displaystyle \frac{10}{4}}=2,5$. Тогда $AO=2,5\cdot OC$, $AO+OC=21\Rightarrow 3,5OC=21\Rightarrow OC=6$, $AO=15$.

Ответ: 15.

Ловушки: написать «треугольники подобны» без признака; перепутать сходственные стороны (они лежат против равных углов).