25 задание ОГЭ математика

Самая трудная задача ОГЭ: несколько шагов, комбинация фактов (вписанная и описанная окружности, подобие, площади, биссектрисы). Максимум – 2 балла, оформление как в задании 23.

За что ставят баллы

• 2 балла – ход решения верный, ответ верный.
• 1 балл – решение в целом верное, но есть несущественные недостатки или вычислительная ошибка.

Полезные факты

• Центр вписанной окружности – точка пересечения биссектрис, он равноудалён от сторон. Центр описанной – пересечение серединных перпендикуляров.
• Площадь через радиус вписанной окружности: $S=pr$ ($p$ – полупериметр).
• Прямоугольный треугольник: $r={\displaystyle \frac{a+b-c}{2}}$, $R={\displaystyle \frac{c}{2}}$.
• Биссектриса делит противоположную сторону в отношении прилежащих сторон.
• Иногда удобно ввести систему координат.

Разбор примера. Катеты прямоугольного треугольника 6 и 8. Найдите расстояние между центрами вписанной и описанной окружностей.

Гипотенуза $c=10$. $r={\displaystyle \frac{6+8-10}{2}}=2$. Введём координаты: $C(0;0)$, $A(8;0)$, $B(0;6)$. Центр вписанной окружности удалён от обоих катетов на $r$: $I(2;2)$. Центр описанной – середина гипотенузы: $O(4;3)$. $IO=\sqrt{(4-2{)}^2+(3-2{)}^2}=\sqrt{5}$.

Ответ: $\sqrt{5}$.

Ловушки: перепутать центр вписанной и описанной окружности; сделать неверный чертёж (например, с тупым углом, когда он острый) и опираться на него.