8 задание ОГЭ математика

Нужно найти значение выражения с квадратными корнями или степенями. Ответ почти всегда «красивый» – целое число или короткая дробь.

Свойства корней ($a\ge 0,b\ge 0$)

• $\sqrt{ab}=\sqrt{a}\cdot \sqrt{b}$, $\sqrt{{\displaystyle \frac{a}{b}}}={\displaystyle \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}}$, $(\sqrt{a}{)}^2=a$, $\sqrt{a^2}=\mathrm{\mid }a\mathrm{\mid }$.
• Вынесение множителя: $\sqrt{48}=\sqrt{16\cdot 3}=4\sqrt{3}$.

Свойства степеней

• $a^m\cdot a^n=a^{m+n}$, $a^m:a^n=a^{m-n}$, $(a^m{)}^n=a^{mn}$, $(ab{)}^n=a^n{b}^n$, $a^{-n}={\displaystyle \frac{1}{a^n}}$, $a^0=1$.

Формулы сокращённого умножения

• $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$, $(a\pm b{)}^2=a^2\pm 2ab+b^2$.

Разбор примера 1. $(\sqrt{11}-3)(\sqrt{11}+3)=(\sqrt{11}{)}^2-3^2=11-9=2$.

Разбор примера 2. ${\displaystyle \frac{1}{3-\sqrt{8}}}+{\displaystyle \frac{1}{3+\sqrt{8}}}$. Общий знаменатель: $(3-\sqrt{8})(3+\sqrt{8})=9-8=1$. Числитель: $(3+\sqrt{8})+(3-\sqrt{8})=6$. Ответ: 6.

Разбор примера 3. ${\displaystyle \frac{a^{12}\cdot a^{-5}}{a^4}}$ при $a=2$: $a^{12-5-4}=a^3=8$.

Ловушки: $\sqrt{a+b}\mathrm{\ne }\sqrt{a}+\sqrt{b}$; $(2\sqrt{3}{)}^2=4\cdot 3=12$, а не 6; при отрицательной степени не переворачивать дробь.